Zweifaktorielle Varianzanalyse ohne Messwiederholung

Was ist eine zweifaktorielle Varianzanalyse ohne Messwiederholung?

Die zweifaktorielle Varianzanalyse prüft, ob es einen Unterschied zwischen mehr als zwei unabhängigen Stichproben gibt, die auf zwei Variablen bzw. Faktoren aufgeteilt sind.

Was ist ein Faktor?

Ein Faktor ist zum Beispiel das Geschlecht einer Person mit den Ausprägungen "männlich" und "weiblich", die verwendete Therapieform bei einer Krankheit mit Therapie A, B und C oder die Studienrichtung mit z.B. Medizin, BWL, Psychologie und Mathe.

Im Falle der Varianzanalyse ist ein Faktor also eine kategoriale Variable. Eine Varianzanalyse verwendest du immer dann, wenn du testen möchtest, ob diese Kategorien einen Einfluss auf die sogenannte abhängige Variable haben.

Du könntest zum Beispiel testen, ob das Geschlecht einen Einfluss auf das Gehalt hat, die Therapie einen Einfluss auf den Blutdruck oder ob die Studienrichtung einen Einfluss auf die Studiendauer hat. Das Gehalt, der Blutdruck und die Studiendauer sind dann jeweils die abhängigen Variablen. In all diesen Fällen prüfst du nun, ob der Faktor einen Einfluss auf die abhängige Variable hat.

Da du in diesen Fällen nur einen Faktor hast, würdest du eine einfaktorielle Varianzanalyse verwenden (Außer natürlich beim Geschlecht, dort liegen nur zwei Ausprägungen, daher würdest du hier den t-Test für unabhängige Stichproben verwenden).

Zwei Faktoren

Jetzt kann es passieren, dass du noch eine weitere kategorische Variable hast, die du auch mit einbeziehen möchtest. Dich könnte interessieren, ob:

• neben dem Geschlecht auch der höchste Bildungsabschluss einen Einfluss auf das Gehalt hat
• neben der Therapie auch das Geschlecht einen Einfluss auf den Blutdruck hat
• neben der Studienrichtung auch noch die besuchte Universität einen Einfluss auf die Studiendauer hat

Nun hättest du in allen drei Fällen nicht einen Faktor, sondern jeweils zwei Faktoren. Und da du nun zwei Faktoren hast, verwendest du die zweifaktorielle Varianzanalyse.

Mithilfe der zweifaktoriellen Varianzanalyse kannst du nun drei Dinge beantworten:

• Hat Faktor 1 einen Einfluss auf die abhängige Variable?
• Hat Faktor 2 einen Einfluss auf die abhängige Variable?
• Gibt es eine Interaktion zwischen Faktor 1 und 2?

Somit hast du im Falle der einfaktoriellen Varianzanalyse einen Faktor, aus dem du die Gruppen erstellst. Im Falle der zweifaktoriellen Varianzanalyse ergeben sich die Gruppen durch die Kombination der Ausprägungen der zwei Faktoren.

Beispiel Zweifaktorielle Varianzanalyse

Hier ist ein Beispieldatensatz für eine zweifaktorielle ANOVA. Angenommen, du willst die Auswirkungen der beiden Faktoren "Behandlung" und "Geschlecht" auf die Antwortvariable "Blutdruck" untersuchen.

In diesem Beispiel hast du zwei Stufen des Faktors "Behandlung" (A und B) und zwei Stufen des Faktors "Geschlecht" (männlich und weiblich). Die "Blutdruck"-Messungen werden für jeden Teilnehmende entsprechend seiner Behandlung und seines Geschlechts aufgezeichnet.

Um eine zweifaktorielle ANOVA mit diesem Datensatz durchzuführen, testest du die Nullhypothese, dass es keine Wechselwirkung zwischen den Faktoren "Behandlung" und "Geschlecht" und keine Haupteffekte der einzelnen Faktoren auf die Antwortvariable "Blutdruck" gibt.

Hypothesen

Mit der zweifaktoriellen Varianzanalyse können drei Aussagen getestet werden. Somit gibt es drei Nullhypothesen und damit auch 3 Alternativhypothesen.

Voraussetzungen

Damit eine zweifaktorielle Varianzanalyse ohne Messwiederholung berechnet werden kann, müssen folgende Voraussetzungen erfüllt sein:

• Skalenniveau: Das Skalenniveau der abhängigen Variable sollte metrisch sein, jenes der unabhängigen Variable (Faktoren) nominalskaliert.
• Unabhängigkeit: Die Messungen sollen unabhängig sein, also der Messwert einer Gruppe soll nicht durch den Messwert einer anderen Gruppe beeinflusst sein. Wäre das der Fall, bräuchtest du eine Varianzanalyse mit Messwiederholungen.
• Homogenität: Die Varianzen in jeder Gruppe sollten in etwa gleich sein. Dies kann mit dem Levene-Test überprüft werden.
• Normalverteilung: Die Daten innerhalb der Gruppen sollten normalverteilt sein.

Dies bedeutet, dass die abhängige Variable zum Beispiel das Gehalt, der Blutdruck oder die Studiendauer sein könnte. Das sind alles metrische Variablen. Darüber hinaus sollte die unabhängige Variable nominal oder ordinal skaliert sein. Dies ist zum Beispiel beim Geschlecht, dem höchsten Bildungsabschluss oder einer Therapieform der Fall. Zu beachten ist dabei, dass die Rangfolge bei ordinalen Variablen nicht verwendet wird und diese Information damit verloren geht.

Zweifaktorielle Varianzanalyse berechnen

Um eine zweifaktorielle Varianzanalyse zu berechnen, werden die folgenden Formeln benötigt. Das schaust du dir an einem Beispiel an.

Nehmen wir an, du bist in der Marketingabteilung einer Bank tätig und möchtest herausfinden, ob das Geschlecht und die Tatsache, dass eine Person studiert hat oder nicht einen Einfluss auf deren Einstellung zur Altersvorsorge haben.

In diesem Beispiel sind deine beiden unabhängigen Variablen (Faktoren) das Geschlecht (männlich oder weiblich) und das Studium (ja oder nein). Deine abhängige Variable ist die Einstellung zur Altersvorsorge, wobei 1 "nicht wichtig" bedeutet und 10 "sehr wichtig".

Ist denn die Einstellung zur Altersvorsorge wirklich eine metrische Variable? Geh einfach mal davon aus, dass die Einstellung zur Altersvorsorge über eine Likert-Skala gemessen wurde und du damit die resultierende Variable als metrisch ansehen.

Mittelwerte

Im ersten Schritt berechnest du die Mittelwerte der einzelnen Gruppen, also von männlich und nicht studiert, das ist 5,8 dann von männlich und studiert, das ist 5,4, das Gleiche machst du nun für weiblich.

Dann berechnest du jeweils den Mittelwert von allen männlichen und weiblichen Personen und von Nicht studiert und studiert. Zum Schluss berechnest du noch den Gesamtmittelwert mit 5,4.

Quadratsummen

Damit können nun die benötigten Quadratsummen berechnet werden. QS_tot ergibt sich aus der Quadratsumme von jedem einzelnen Wert minus dem Gesamtmittelwert.

QS_zw ergibt sich aus der Quadratsumme der Gruppenmittelwerte minus dem Gesamtmittelwert multipliziert mit der Anzahl der Werte in den Gruppen.

Die Quadratsummen der Faktoren QS_A und QS_B ergeben sich aus der Quadratsumme von den Mittelwerten der Faktorstufen minus dem Gesamtmittelwert.

Nun kannst du noch die Quadratsumme für die Wechselwirkung berechnen. Diese ergibt sich, indem QS_zw minus QS_A minus QS_B berechnet wird.

Zum Schluss wird noch die Quadratsumme des Fehlers ausgerechnet. Dieses wird ähnlich wie die Gesamtquadratsumme berechnen. Du verwendest wieder jeden einzelnen Wert. Nur ziehst du in diesem Fall nicht von jedem Wert den Gesamtmittelwert ab, sondern du ziehen von jedem Wert den jeweiligen Gruppenmittelwert ab.

Freiheitsgrade

Die benötigten Freiheitsgrade ergeben isch folgendermaßen:

Mittlere Quadrate bzw. Varianz

Zusammen mit den Quadratsummen und den Freiheitsgraden kann nun die Varianz berechnet werden:

F-Wert

Nun kannst du die F-Werte berechnen. Die ergeben sich, in dem die Varianz von Faktor A, Faktor B oder der Wechselwirkung AB jeweils durch die Fehlervarianz geteilt wird.

p-Wert

Für die Berechnung des p-Wertes wird der F-Wert, die Freiheitsgrade und die F-Verteilung benötigt. Du verwendest den F-Verteilung-p-Wert-Rechner auf numiqo. Natürlich kannst du das Beispiel auch einfach komplett mit numiqo berechnen, dazu im nächsten Abschnitt mehr.

Damit erh?ltst du für den Faktor A einen p-Wert von 0,323, für Faktor B einen p-Wert von 0,686 und für die Wechselwirkung einen p-Wert von 0,55. Keiner dieser p-Werte ist kleiner als 0,05 und damit beh?ltst du die jeweiligen Nullhypothesen bei.

Zweifaktorielle ANOVA mit numiqo berechnen

Du nimmst das gleiche Beispiel von oben. Die Daten sind nun in der Form angeordnet, damit deine Statistik-Software damit was anfangen kann. In jeder Reihe ist eine befragte Person.

Hinweis: Dieses Beispiel besteht nur aus 20 Fällen, das ist natürlich nicht viel, wodurch du eine sehr geringe Teststärke haben, als Beispiel ist es aber ausreichend.

Um eine zweifaktorielle Varianzanalyse online zu berechnen, besuche einfach numiqo.de und kopiere deine eigenen Daten in diese Tabelle.

Anschließend klicke auf "Hypothesentest". Unter diesen Tab findest du viele verschiedene Hypothesentests. Je nachdem, welche Variablen du auswählst, bekommst du einen passenden Hypothesentest vorgeschlagen.

Wenn du in die Tabelle deine Daten kopierst, tauchen die Variablen unter der Tabelle auf. Sollte nicht automatisch das richtige Skalenniveau erkannt werden, kannst du es in der ersten Zeile der Tabelle ändern.

In unserem Beispiel möchtest du wissen, ob das Geschlecht und ob eine Person studiert hat oder nicht einen Einfluss auf die Einstellung zur Altersvorsorge haben. Also klickst du in diesem Fall einfach alle drei Variablen an.

numiqo berechnet nun automatisch eine zweifaktorielle Varianzanalyse ohne Messwiederholung. Außerdem gibt dir numiqo die drei Null- und die drei Alternativhypothesen aus, anschließend die deskriptiven Statistiken und den Levene-Test der Varianzgleichheit. Mit dem Levene-Test kannst du prüfen, ob die Varianzen innerhalb der Gruppen gleich sind. Der p-Wert ist größer als 0,05, daher gehst du bei diesen Daten von Varianzgleichheit in den Gruppen aus.

Als nächstes erhältst du die Ergebnisse der zweifaktoriellen ANOVA.

Zweifaktorielle ANOVA interpretieren

Am wichtigsten in der oberen Tabelle sind die drei gekennzeichneten Reihen. Mit diesen drei Reihen kannst du prüfen, ob die drei Nullhypothesen, die du vorher aufgestellt hast, beibehalten oder verworfen werden.

Die erste Reihe prüft du Nullhypothese, ob die Variable Studium (studiert oder nicht studiert) einen Einfluss auf die Einstellung zur Altersvorsorge hat. Die zweite Reihe prüft, ob das Geschlecht einen Einfluss auf die Einstellung zur Altersvorsorge hat. Schließlich prüft die dritte Reihe die Wechselwirkung zwischen studiert/nicht studiert und Geschlecht.

Den p-Wert kannst du jeweils in der letzten Spalte ablesen. Nehmen wir an, du hast das Signifikanzniveau mit 5 % festgelegt. Wenn unser berechneter p-Wert kleiner als 0,05 ist, wird die Nullhypothese abgelehnt. Wenn der berechnete p-Wert größer als 0,05 ist, wird die Nullhypothese beibehalten.

Damit siehst du in diesem Fall, dass alle drei p-Werte größer als 0,05 sind und du damit keine der drei Nullhypothesen ablehnen können bzw. alle drei beibehalten werden.

Das bedeutet, dass weder das Studium noch das Geschlecht einen signifikanten Einfluss auf die Einstellung zur Altersvorsorge haben. Darüber hinaus gibt auch keine signifikante Wechselwirkung zwischen den Variablen studiert/nicht studiert und Geschlecht in Bezug auf die Einstellung zur Altersvorsorge.

Falls du nicht genau weißt, wie man die Ergebnisse interpretieren kann, kannst du auch einfach auf Zusammenfassung in Worten klicken. Außerdem ist vorab noch wichtig zu prüfen, ob die Voraussetzungen für die Varianzanalyse überhaupt erfüllt sind.

Interaktionseffekt

Was bedeutet nun aber genau Wechselwirkung bzw. Interaktion? Hierfür schaust du dir zunächst dieses Diagramm an.

Auf der y-Achse ist die abhängige Variable aufgetragen, in unserem Beispiel die Einstellung zur Altersvorsorge. Auf der x-Achse ist einer der beiden Faktoren aufgetragen, du nimmst hier einfach mal das Geschlecht. Der andere Faktor wird durch Linien mit unterschiedlichen Farben dargestellt. Grün ist studiert und rot ist nicht studiert.

Die Endpunkte der Linien sind jeweils die Mittelwerte der Gruppen, also z. B. von männlich und nicht studiert.

In diesem Diagramm kann man sehen, dass sowohl das Geschlecht als auch die Variable, ob man studiert hat oder nicht einen Einfluss auf die Einstellung zur Altersvorsorge haben. Weibliche Personen haben einen höheren Wert als männliche Personen und Personen, die studiert haben, haben einen höheren Wert, als jene, die nicht studiert haben.

Nun kommen wir zu den Interaktionseffekten, dafür vergleichst du diese beiden Diagramme.

Im ersten Fall sagen wir, es gibt keinen Interaktionseffekt. Wenn eine Person studiert hat, hat sie einen Wert, der sagen wir um 1,5 höher ist als eine Person, die nicht studiert hat.

Diese Erhöhung von 1,5 ist unabhängig davon, ob die Person männlich oder weiblich ist.

Anders ist es im zweiten Fall, hier haben studierte Personen zwar auch einen höheren Wert, aber wie viel höher der Wert ist, hängt davon ab, ob man männlich oder weiblich ist. Wenn du männlich bist, gibt es einen Unterschied von, sagen wir z. B. 0,5 und wenn ich weiblich bin, gibt es einen Unterschied von 3,5.

In diesem Fall hast du also ganz klar eine Interaktion zwischen Geschlecht und Studium, da die beiden Variablen sich gegenseitig beeinflussen. Es macht einen Unterschied, wie stark der Einfluss des Studiums ist, je nachdem, ob ich männlich oder weiblich bin.

In diesem Fall hast du zwar einen Interaktionseffekt, aber die Richtung bleibt immer noch gleich. Also weibliche Personen haben höhere Werte als männliche Personen und Personen mit Studium haben höhere Werte, als Personen ohne Studium.

Man könnte natürlich auch folgendes Ergebnis erhalten. Im unteren linken Diagramm hätte das Studium bei den Männern überhaupt keinen Einfluss und nur bei den Frauen hätte das Studium einen Einfluss. Der Mittelwert ist also bei den Männern genau gleich, egal ob sie studiert haben oder nicht.

Im rechten Diagramm würde sich sogar ein höherer Wert für Männer mit Studium und ein höherer Wert für Frauen ohne Studium ergeben.